Maclaurin en ontbinding van 'n paar funksies

Die bestudering van gevorderde wiskunde moet bewus wees dat die som van 'n magreeks in die interval van konvergensie van 'n aantal van ons, is 'n deurlopende en onbeperkte aantal kere 'n gedifferensieerde funksie. Die vraag ontstaan: is dit moontlik om te argumenteer dat gegewe 'n arbitrêre funksie f (x) - is die som van 'n magreeks? Dit wil sê, onder watter omstandighede die f-sies f (x) kan voorgestel word deur 'n magreeks? Die belangrikheid van hierdie kwessie is dat dit moontlik is om te vervang ongeveer £ Teologiese f (x) is die som van die eerste paar terme van 'n magreeks, dit is 'n polinoom. So 'n plaasvervanger funksie is eenvoudig uitdrukking - polinoom - is gerieflik en in die oplossing van sekere probleme in wiskundige analise, naamlik in die oplossing van integrale by die berekening van differensiaalvergelykings , ens ...

Dit is bewys dat vir 'n paar f-ii f (x), waarin die afgeleide van die (N + 1) -de bestelling kan bereken word, insluitende die jongste in die omgewing van (α - R; x ₀ + R) van 'n punt x = α billike formule is:

Hierdie formule is vernoem na die beroemde wetenskaplike Brooke Taylor. 'N Aantal van wat is afgelei van die vorige een, staan bekend as 'n Maclaurin reeks:

'N Reël wat dit moontlik maak om uitbreiding in 'n Maclaurin reeks te produseer:

1. Bepaal afgeleide van die eerste, tweede, derde, ... orde.
2. Bereken wat afgeleide by x = 0.
3. Rekord Maclaurin reeks vir hierdie funksie, en dan na die interval van konvergensie te bepaal.
4. Bepaal interval (-R; R), waar die oorblywende deel van formule Maclaurin

R _N (x) -> 0 vir N -> oneindig. As een bestaan, moet dit funksie f (x) gelyk aan die som van die Maclaurin reeks wees.

Oorweeg nou die Maclaurin reeks vir die individuele funksies.

1. So, die eerste wat f (x) = e ^x. Natuurlik, dat hulle eienskappe so f-Ia 'n verskeidenheid van bestellings, en f ^{(k) (x)} = e ^x, waar k is gelyk aan al het afgelei die natuurlike getalle. Plaasvervanger x = 0. Ons kry f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Op grond van die voorafgaande, 'n aantal e ^x Dit sal soos volg wees:

2. Maclaurin reeks vir die funksie f (x) = sin x. Onmiddellik spesifiseer dat f-sies vir al onbekend afgeleides sal hê, buiten f ^'(x) = cos x = sin (x + N / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * N / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), waar k is gelyk aan enige positiewe heelgetal. Dit wil sê, die maak van eenvoudige berekeninge, kan ons aflei dat die reeks vir f (x) = sin x sal wees soos volg:

3. Kom ons kyk na iju f-f (x) = cos x. Dit is onbekend vir alle afgeleides van arbitrêre volgorde, en ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * N / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Weereens, omdat dit het 'n paar berekeninge, vind ons dat die reeks vir f (x) = cos x sal soos volg lyk:

So het ons gelys die belangrikste eienskappe wat uitgebrei kan word in 'n Maclaurin reeks, maar hulle vul die Taylor reeks vir 'n paar funksies. Nou sal ons hulle noem as well. Dit moet ook op gelet word dat Taylor reeks en Maclaurin reeks is 'n belangrike deel van die werkswinkel reeks besluite in hoër wiskunde. So, Taylor-reekse.

1. Die eerste is 'n reeks van f-ii f (x) = ln (1 + x). Soos in die vorige voorbeelde, daarvoor het ons f (x) = ln (1 + x) kan 'n aantal gevou, met behulp van die algemene vorm van Maclaurin reeks. maar vir hierdie funksie Maclaurin kan verkry word baie makliker. Integrasie van 'n meetkundige reeks, kry ons 'n nommer vir f (x) = ln (1 + x) van die monster:

2. En die tweede, wat finale sal wees in hierdie artikel, sal 'n reeks vir f (x) = arctg x wees. Vir x wat aan die interval [-1; 1] is geldig ontbinding:

Dis al. In hierdie artikel het ek die mees gebruikte Taylorreeks en Maclaurin reeks in hoër wiskunde ondervra, veral in die ekonomiese en tegniese kolleges.