Double integrale. Take. eienskappe

Probleme wat lei tot die konsep van "dubbele integrale".

1. Laat plat plaat materiaal in elke punt van wat digtheid in die vlak gedefinieer word bekend. Ons moet 'n baie van hierdie rekord op te spoor. Aangesien hierdie plaat het duidelik dimensies, kan dit ingesluit word in 'n reghoek. verstaan kan word as die digtheid van die plaat is ook hierdie: by dié punte van die reghoek, wat behoort nie aan die bord, ons aanvaar dat die digtheid is nul. Ons definieer 'n uniform breek op dieselfde aantal deeltjies. So, is die voorafbepaalde vorm verdeel in eenvoudige reghoeke. Oorweeg een van hierdie reghoeke. Pick 'n punt van die reghoek. In die lig van die kleinheid van die dimensies van die reghoek sal aanvaar word dat die digtheid by elke punt van die reghoek is konstant. Toe die massa van 'n vierkantige deeltjies, sal bepaal word na gelang van die vermeerdering van die digtheid op hierdie punt in die gebied van 'n reghoek. Die gebied is bekend, is die vermeerdering van die reghoek die lengte deur die wydte. En op die koördinaatvlak - 'n verandering met 'n paar stappe. Toe die massa van die hele rekord sal die som van die massas van hierdie reghoeke wees. Indien so 'n verhouding gaan tot by die grens, dan kan jy die presiese verhouding kry.
2. Ons definieer 'n ruimtelike liggaam wat begrens word deur die oorsprong en 'n funksie. Ons moet die volume van die genoemde liggaam vind. Soos in die vorige geval, verdeel ons die streek in reghoeke. Ons aanvaar dat die punte wat behoort nie aan die domein, sal die funksie gelyk is aan 0. wees Kom ons kyk na een van die vierkantige gebreek. Deur die kante van 'n reghoek te trek vliegtuie wat loodreg op die asse van abscissa en koördineer is. Ons kry parallelepipedum wat begrens van onder relatief tot die vlak van die z-as, en op die top van daardie funksie wat gedefinieer in die probleem. Kies in die middel van die reghoek punt. As gevolg van die klein grootte van die reghoek kan aanvaar word dat die funksie binne hierdie reghoek het 'n konstante waarde, dan kan jy die volume van 'n reghoek te bereken. A volume vorms sal gelyk wees aan die som van al hoeveelhede van sulke reghoeke wees. Om 'n akkurate waarde kry, moet jy na die grens.

Soos gesien vanaf die take in elke voorbeeld, kan ons aflei dat verskillende probleme aanleiding gee tot 'n oorweging van die dubbele bedrae van dieselfde spesie.

Eienskappe van dubbelintegrale.

Ons stel die probleem. Veronderstel dat in 'n sekere geslote gebied is 'n funksie van twee veranderlikes gegee, met diegene wat deur 'n kontinue funksie. Sedert die gebied begrens, dan is dit kan in enige reghoek wat heeltemal bevat die eienskappe van 'n voorafbepaalde gebied punt geplaas. Ons verdeel die reghoek in gelyke dele. Ons sê dat die grootste deursnee van die oortreding van die diagonale van die gevolglike reghoeke. Ons kies nou die grense van hierdie reghoek punt. As jy vind die waarde op hierdie punt is om vas te stel van die bedrag, dan is hierdie bedrag sal integrale vir 'n funksie in 'n gegewe gebied genoem. Die grense van so 'n integrale som, onder die voorwaardes wat die deursnee van die pouse te wees 0, en die aantal reghoeke - oneindig. Indien so 'n grens bestaan en is nie afhanklik van die metode van die oortreding van die gebied in reghoeke en die keuse van terme, dan is dit genoem - 'n dubbele integrale.

Die geometriese inhoud van dubbele integrale: dubbele integrale syfers gelyke volume van die liggaam, wat in Probleem 2 beskryf.

Wetende dat die dubbele integrale (definisie), kan jy die volgende eienskappe te stel:

1. Die konstante geneem kan word buite die integrale teken.
2. Die integrale som (verskil) is gelyk aan die som (verskil) van die integrale.
3. Van die funksies minder as wat sal wees, die dubbele integrale minder.
4. Die module kan gemaak word in die teken van die dubbele integrale.