Lineêre en homogene differensiaalvergelyking van die eerste orde. voorbeelde van oplossings

Ek dink ons moet begin met die geskiedenis van die heerlike wiskundige hulpmiddel as differensiaalvergelykings. Soos al die differensiaal- en integraalrekening is hierdie vergelykings uitgevind deur Newton in die laat 17de eeu. Hy het geglo dit was sy ontdekking so belangrik dat selfs die geïnkripteer boodskap, wat vandag kan vertaal word as volg: ". Al die wette van beskryf deur differensiaalvergelykings aard" Dit kan 'n oordrywing lyk, maar dit is waar. Enige wet van fisika, chemie, biologie, kan beskryf word deur hierdie vergelykings.

'N enorme bydrae tot die ontwikkeling en die skepping van die teorie van differensiaalvergelykings het wiskunde van Euler en Lagrange. Reeds in die 18de eeu ontdek hulle en ontwikkel wat nou studeer by die senior universiteit kursusse.

'N Nuwe mylpaal in die studie van differensiaalvergelykings begin danksy Anri Puankare. Hy het 'n "kwalitatiewe teorie van differensiaalvergelykings", wat, gekombineer met die teorie van funksies van komplekse veranderlikes beduidend bygedra tot die stigting van topologie - die wetenskap van ruimte en sy eienskappe.

Wat is differensiaalvergelykings?

Baie mense is bang vir die frase "differensiaalvergelyking". Maar in hierdie artikel sal ons in besonderhede die essensie van hierdie baie nuttig wiskundige hulpmiddel wat eintlik nie so ingewikkeld as wat dit lyk uit die titel. Ten einde te begin om te praat oor 'n eerste-orde differensiaalvergelyking, moet jy eers kennis maak met die basiese konsepte wat inherent is wat verband hou met hierdie definisie. En ons sal begin met die ewenaar.

differensiële

Baie mense weet hierdie kwartaal sedert die hoërskool. Maar nog steeds woon op dit in detail. Stel jou voor die grafiek van die funksie. Ons kan dit verhoog tot so 'n mate dat enige van sy segment word 'n reguit lyn. Dit sal twee punte wat oneindig naby aan mekaar vat. Die verskil tussen hulle koördinate (x of y) is infinitesimale. En dit staan bekend as differensiële en karakters aanwys dy (differensiële van y) en dx (die ewenaar van x). Dit is belangrik om te verstaan dat die ewenaar is nie die uiteindelike waarde, en dit is die betekenis en die hooffunksie.

En nou moet jy die volgende elemente wat ons nodig het om die differensiaalvergelyking konsep verduidelik oorweeg. Dit - afgeleide.

afgeleide

Almal van ons moet gehoor by die skool en hierdie opvatting. Hulle sê dat die afgeleide - is die tempo van groei of afname van die funksie. Maar hierdie definisie word meer verwarrend. Kom ons probeer om die afgeleide terme van die verskille te verduidelik. Kom ons gaan terug na die infinitesimale interval funksie gaan met twee punte, wat is geleë op 'n minimum afstand van mekaar. Maar selfs as dit funksie afstand is tyd om te verander na 'n paar waarde. En om daardie verandering te beskryf en kom met 'n afgeleide wat anders sou geskryf word as die verhouding van die verskille: f (x) '= DF / dx.

Nou is dit nodig om die basiese eienskappe van die afgeleide te oorweeg. Daar is net drie:

1. Afgeleide som of die verskil kan voorgestel word as die som of verskil van die afgeleide: (a + b) '= 'n "+ b', en (ab) '= A'-b.
2. Die tweede eiendom wat verband hou met vermenigvuldiging. Afgeleide werke - is die som van die werke van een funksie na 'n ander afgeleide: (a * b) '= 'n "* b + a * b.
3. Die afgeleide van die verskil kan geskryf word as die volgende vergelyking: (a / b) '= ( 'n' * ba * b ') / b ^2.

Al hierdie eienskappe handig te pas kom vir die vind van oplossings vir differensiaalvergelykings van die eerste orde.

Daar is ook parsiële afgeleides. Gestel ons het 'n funksie van die z, wat afhanklik is van die veranderlikes x en y. Om die parsiële afgeleide van hierdie funksie te bereken, byvoorbeeld, in x, moet ons die veranderlike y neem vir konstante en maklik om te onderskei.

integrale

Nog 'n belangrike konsep - integrale. In werklikheid is dit die teenoorgestelde van afgeleide. Integrale is verskeie tipes, maar die eenvoudigste oplossings van differensiaalvergelykings, ons moet die mees triviale onbepaalde integrale.

So, wat is die integrale? Kom ons sê ons het 'n paar verhouding f van x. Ons neem daaruit die integrale en kry 'n funksie f (x) (dit is dikwels na verwys as 'n primitiewe), wat is 'n afgeleide van die oorspronklike funksie. Daarom F (x) '= f (x). Dit impliseer ook dat die integrale van die afgeleide gelyk aan die oorspronklike funksie.

In die oplossing van differensiaalvergelykings is dit baie belangrik om die betekenis en funksie van die integrale verstaan, aangesien baie dikwels het om hulle te neem om oplossings te vind.

Die vergelykings is anders, afhangende van die aard. In die volgende afdeling sal ons kyk na tipes eerste orde differensiaalvergelykings, en dan leer hoe om dit op te los.

Klasse van differensiaalvergelykings

"Diffury" gedeel deur die einde van afgeleide instrumente wat betrokke is by hulle. is daar dus 'n eerste, tweede, derde of meer bestel. Hulle kan ook verdeel word in verskeie klasse: gewone en parsiële.

In hierdie artikel, sal ons kyk na die gewone differensiaalvergelykings van die eerste orde. Voorbeelde en oplossings wat ons bespreek in die volgende afdelings. Ons is van mening net die TAC, want dit is die mees algemene vorme van vergelykings. Gewone verdeel in subspesies: met skeibare veranderlikes, homogene en heterogene. Volgende sal jy leer hoe hulle van mekaar verskil, en leer hoe om dit op te los.

Daarbenewens kan hierdie vergelykings word gekombineer, sodat nadat ons 'n stelsel van differensiaalvergelykings van die eerste orde te kry. Sulke stelsels, kyk ons ook op en leer hoe om op te los.

Daarom het ons dit oorweeg om net die eerste orde? Omdat dit nodig is om te begin met 'n eenvoudige en beskryf al wat verband hou met differensiaalvergelykings, in 'n enkele artikel is dit onmoontlik.

Vergelykings met skeibare veranderlikes

Dit is dalk die mees eenvoudige eerste orde differensiaalvergelykings. Dit is voorbeelde wat geskryf kan word as: y '= f (x) * f (y). Om hierdie vergelyking op te los moet ons die verteenwoordiging formule van die afgeleide as die verhouding van die verskille: y '= dy / dx. Met dit verkry ons die vergelyking: dy / dx = f (x) * f (y). Nou kan ons wend ons tot die metode van die oplossing van standaard voorbeelde: skei die veranderlikes in dele, naamlik vinnig vorentoe al die veranderlike y in die deel waar daar dy, en ook die veranderlike x ... Ons kry 'n vergelyking van die vorm: dy / f (y) = f (x) dx, wat word bereik deur die neem van die integrale van die twee dele. Moenie vergeet van die konstante wat jy wil na integrasie te sit.

Die oplossing van enige "diffura" - is 'n funksie van x deur y (in ons geval), of indien daar 'n numeriese toestand, die antwoord is 'n aantal. Kom ons kyk na 'n konkrete voorbeeld die hele verloop van die besluit:

y '= 2y * sonde (x)

Die oordrag van die veranderlikes in verskillende rigtings:

dy / y = 2 * sonde (x) dx

Nou neem die integrale. Almal van hulle kan gevind word in 'n spesiale tafel van integrale. En ons kry:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Indien nodig, kan ons die "y" as 'n funksie van "X" te druk. Nou kan ons sê dat ons differensiaalvergelyking is opgelos, indien nie spesifieke toestand. Kan spesifieke toestand, byvoorbeeld, y (N / 2) = e. Dan sal ons eenvoudig vervang die waarde van hierdie veranderlikes in die besluit en bepaal die waarde van die konstante. In ons voorbeeld, dit is 1.

Homogene eerste orde differensiaalvergelykings

Nou op na die meer komplekse dele. eerste homogene orde differensiaalvergelykings kan geskryf word in die algemeen vorm as: y '= z (x, y). Dit sal opgemerk word dat die reg funksie van twee veranderlikes is uniform, en dit kan nie verdeel word in twee, afhangende van: z x en z van y. Kyk of die vergelyking is homogeen of nie, is eenvoudig: ons maak die vervanging x = k * x en y = k * y. Nou sny ons almal k. As hierdie briewe laat val, dan die vergelyking homogene en veilig kan voortgaan om sy oplossing. Wat die toekoms betref, sê ons: die beginsel van die oplossing van hierdie voorbeelde is ook baie eenvoudig.

Ons moet die vervanging te maak: y = t (x) * x, waar t - 'n funksie wat ook afhanklik van x. y '= t (x) * x + t: dan kan ons die afgeleide uit te druk. Vervang dit alles in ons oorspronklike vergelyking en vereenvoudig dit, ons het die voorbeeld van die skeiding van veranderlikes t as x. Los dit en kry die afhanklikheid van t (x). Toe ons dit, eenvoudig vervang ons vorige vervanging y = t (x) * x. Dan kry ons die afhanklikheid van y op x.

Om dit duideliker te maak, sal ons 'n voorbeeld te verstaan: x * y '= yx * e y / x.

Wanneer die nagaan van die vervanging van al daal. So, die vergelyking is regtig homogene. Nou maak 'n ander te vervang, het ons gepraat oor: y = t (x) * x en y '= t (x) * x + t (x). Na vereenvoudiging die volgende vergelyking: t '(x) * x = -e t. Ons besluit om 'n monster met vervreem veranderlikes kry en ons ^{kry: e t = ln (C *} x). Ons het net nodig om t vervang deur y / x (want as y = t * x, dan = t y / x), en ons kry die ^{antwoord: e -y / x = ln (} x * C).

Lineêre differensiaalvergelyking van die eerste orde

Dit is tyd om 'n ander breë onderwerp oorweeg. Ons sal kyk skeef eerste-orde differensiaalvergelykings. Hoe verskil hulle van die vorige twee? Let's face it. Lineêre eerste orde differensiaalvergelykings in die algemene vorm van die vergelyking kan dus geskryf word: y '+ g (x) * y = z (x). Dit moet duidelik gemaak dat die z (x) en g (x) kan wees konstante waardes.

Hier is 'n voorbeeld: y '- y * x = x ^2.

Daar is twee maniere om op te los, en ons bestel Laat ons altwee ondersoek. Die eerste - die metode van variasie van arbitrêre konstantes.

Om die vergelyking op hierdie wyse op te los, is dit nodig om die eerste regterkant gelyk aan nul, en los die gevolglike vergelyking wat na die oordrag van dele word:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Nou is dit nodig om die voortdurende C ₁ vervang op die funksie v (x), wat ons sal vind.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Trek 'n plaasvervanger afgeleide:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

En vervang hierdie uitdrukkings in die oorspronklike vergelyking:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Jy kan sien dat in die linkerkant van die twee terme word verminder. As 'n paar voorbeeld wat nie gebeur het nie, dan het jy iets verkeerd gedoen. Ons gaan voort om:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Nou los ons die gewone vergelyking waarin jy die veranderlikes te skei:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Om die integrale te verwyder, moet ons die integrasie toe te pas deur dele hier. Dit is egter nie die onderwerp van hierdie artikel. As jy belangstel, kan jy leer oor hul eie sodanige optrede uit te voer. Dit is nie moeilik nie, en met genoeg vaardigheid en sorg is nie tydrowend.

Met verwysing na die tweede metode die oplossing van die inhomogeneous vergelykings: Bernoulli metode. Wat benadering is vinniger en makliker - dit hang van jou af.

So, wanneer die oplossing van hierdie metode, moet ons die vervanging te maak: y = k * n. Hier, K en N - sommige funksies, afhangende van x. Dan sal die afgeleide lyk: y '= k' * n + k * n '. Plaasvervanger twee vervangings in die vergelyking:

k '* n + k * N ' + x * k * n = x ^2.

Groep tot:

k '* n + k * ( N' + x * n) = x ^2.

Nou is dit nodig om gelyk te stel aan nul, wat in hakies. Nou, as jy die twee gevolg vergelykings te kombineer, kry ons 'n stelsel van eerste orde differensiaalvergelykings opgelos moet word:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Die eerste gelykheid te besluit hoe die gewone vergelyking. Om dit te doen, moet jy die veranderlikes te skei:

dn / dx = x * v;

dn / N = xdx.

Ons neem die integrale en ons kry: ln (N) = x ^2/2. Dan, as ons druk N:

n = e ^{x2 / 2.}

Nou vervang die gevolglike vergelyking in die tweede vergelyking:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

En die transformasie van ons dieselfde vergelyking verkry as in die eerste metode:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Ons sal ook nie verdere optrede te bespreek. Daar word gesê dat die eerste eerste-orde differensiaalvergelykings oplossing veroorsaak aansienlike probleme. Maar 'n dieper onderdompeling in die onderwerp begin beter en beter raak.

Waar is differensiaalvergelykings?

Baie aktief differensiaalvergelykings gebruik in fisika, soos byna al die basiese wette geskryf in differensiaalvorm, en diegene formules, wat ons sien - 'n oplossing vir hierdie vergelykings. In chemie, word dit gebruik vir dieselfde rede: die basiese wette afgelei deur hulle. In biologie, is die differensiaalvergelykings wat gebruik word om die gedrag van stelsels, soos roofdier Model - prooi. Hulle kan ook gebruik word om modelle van voortplanting te skep, byvoorbeeld kolonies van mikro-organismes.

As differensiaalvergelykings help in die lewe?

Die antwoord op hierdie vraag is eenvoudig: niks. As jy nie 'n wetenskaplike of ingenieur, is dit onwaarskynlik dat hulle nuttig sal wees. Maar nie seer om te weet wat die differensiaalvergelyking en dit is opgelos vir die algehele ontwikkeling. En dan die vraag van 'n seun of dogter, "wat 'n differensiaalvergelyking?" vra nie dat jy sit in 'n doodloopstraat. Wel, as jy 'n wetenskaplike of ingenieur, dan weet jy die belangrikheid van hierdie onderwerp in enige wetenskap. Maar die belangrikste, wat nou op die vraag "hoe om die differensiaalvergelyking van die eerste orde op te los?" jy sal altyd in staat wees om 'n antwoord te gee. Stem saam, dit is altyd lekker as jy besef dat dit wat mense is selfs bang om uit te vind.

Die grootste probleme in die studie

Die grootste probleem in die begrip van die onderwerp is 'n slegte gewoonte van integrasie en differensiasie funksies. As jy ongemaklik is AANVAAR afgeleides en integrale, dit is waarskynlik meer te leer werd, om verskillende metodes van integrasie en differensiasie leer, en slegs dan voort te gaan na die studie van die materiaal wat in die artikel beskryf.

Sommige mense is verbaas om te verneem dat dx oorgedra kan word, soos voorheen (in die skool) het aangevoer dat die breuk dy / dx is ondeelbaar. Dan moet jy die literatuur lees op die afgeleide en verstaan dat dit die houding van oneindig klein hoeveelhede, wat gemanipuleer kan word in die oplossing van vergelykings.

Baie mense het nie dadelik besef dat die oplossing van differensiaalvergelykings van die eerste orde - dit is dikwels 'n funksie of neberuschiysya integrale, en hierdie dwaling gee hulle 'n baie moeite.

Wat anders kan bestudeer word om 'n beter verstaan?

Dit is die beste om verdere onderdompeling begin in die wêreld van differensiaalrekening van gespesialiseerde handboeke, byvoorbeeld, in wiskundige analise vir studente van nie-wiskundige spesialiteite. Jy kan dan skuif na die meer gespesialiseerde literatuur.

Daar word gesê dat, bykomend tot die ewenaar, is daar steeds integrale vergelykings, so jy sal altyd iets om te streef na en wat om te studeer nie.

gevolgtrekking

Ons hoop dat na die lees van hierdie artikel sal jy 'n idee van wat die differensiaalvergelykings en hoe om dit korrek op te los nie.

In elk geval, wiskunde op enige manier nuttig om ons in die lewe. Dit ontwikkel logika en aandag, waarsonder elkeen, as sonder hande.