'N Stelsel van lineêre algebraïese vergelykings. Homogene stelsel lineêre algebraïese vergelykings

By die skool, elkeen van ons bestudeer die vergelyking en, sekerlik, die stelsel van vergelykings. Maar nie baie mense weet dat daar verskeie maniere om dit op te los. Vandag sal ons presies al die metodes te sien vir die oplossing van 'n stelsel van lineêre algebraïese vergelykings, wat bestaan uit meer as twee vergelykings.

storie

Vandag weet ons dat die kuns van die oplossing van vergelykings en hul stelsels sy oorsprong in antieke Babilon en Egipte. Maar gelykheid in hul bekende vorm verskyn om ons na die voorkoms van die gelykaanteken "=", wat in 1556 bekend gestel is deur Engelse wiskundige rekord. By the way, was hierdie simbool gekies vir 'n rede: dit beteken twee parallelle gelyke segmente. Trouens, die beste voorbeeld van gelykheid nie opkom nie.

Die stigter van die moderne letters en simbole van onbekende omvang, die Franse wiskundige Fransua Viet. Maar sy aanwysing is aansienlik verskil van vandag. Byvoorbeeld, 'n vierkant van 'n onbekende aantal hy aangewys deur die letter Q (lat "quadratus".), En die kubus - (. Lat "Cubus") die letter C. Hierdie simbole lyk nou ongemaklik, maar dan was dit die mees intuïtief manier om 'n stelsel lineêre algebraïese vergelykings te skryf.

Maar 'n nadeel in die heersende metodes van oplossing was dat wiskundiges net die positiewe wortels oorweeg. Miskien is dit te danke aan die feit dat negatiewe waardes het nie praktiese toepassing het. Een of ander manier, maar die eerste in ag geneem word negatiewe wortels het begin nadat die Italiaanse wiskunde Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano en Raphael Bombelli in die 16de eeu. 'N Moderne blik, die belangrikste metode van die oplossing van kwadratiese vergelykings (deur diskriminant) is gestig net in die 17de eeu deur die werke van Descartes en Newton.

In die middel van die 18de eeu Switserse wiskundige gevind Gabriel Cramer 'n nuwe manier om die oplossing van stelsels lineêre vergelykings makliker te maak. Hierdie metode is later na hom vernoem, en tot vandag toe ons dit gebruik. Maar op die metode van praat Kramer se 'n bietjie later, maar vir nou sal ons lineêre vergelykings en hul oplossings afsonderlik bespreek uit die stelsel.

lineêre vergelykings

Lineêre vergelykings - die eenvoudigste vergelyking met veranderlike (s). Hulle behoort aan die algebraïese. Lineêre vergelykings geskryf in die algemene vorm soos volg: 'n ₁ * x ₁ + n _{2 *} x ₂ + ... en _N * x _n = b. Indiening van hierdie vorm sal ons nodig het in die voorbereiding van stelsels en matrikse op.

'N Stelsel van lineêre algebraïese vergelykings

Die definisie van hierdie term is: 'n stel vergelykings wat algemeen onbekendes en die algemene oplossing het. Tipies, by die skool al opgelos 'n stelsel met twee of selfs drie vergelykings. Maar daar is stelsels met vier of meer komponente. Kom ons kyk eers hoe om dit af sodat later was dit gerieflik om op te los skryf. Eerstens, sal die stelsel van lineêre algebraïese vergelykings beter lyk as al die veranderlikes as x met die ooreenstemmende indeks geskryf: 1,2,3 en so aan. In die tweede plek moet dit lei al die vergelykings om die kanonieke vorm: 'n ₁ * x ₁ + n _{2 *} x ₂ + ... en _N * x _n = b.

Na al die stappe, kan ons begin om jou te vertel hoe om die oplossing van stelsels lineêre vergelykings te vind. Baie dankie vir wat sal handig te pas kom matriks.

matriks

Matrix - 'n tafel wat bestaan uit rye en kolomme, en sy elemente op hul kruising. Dit kan óf 'n spesifieke waarde of veranderlike wees. In die meeste gevalle, om elemente wat gereël onder die onderskrifte (bv 'n ₁₁ of ₂₃ goed) aanwys. Die eerste indeks dui die ry nommer, en die tweede - die kolom. Bo matrikse soos hierbo en enige ander wiskundige element kan verskillende operasies uit te voer. Dus, kan jy:

1) Trek en voeg dieselfde grootte van die tafel.

2) Vermenigvuldig die matriks om 'n aantal of vektor.

3) Transponeer: omskep matriks lyne in die kolomme, en die kolomme - in lyn.

4) Vermenigvuldig die matriks, indien die aantal rye gelyk aan een van hulle 'n verskillende aantal kolomme is.

Om te bespreek in detail al hierdie tegnieke, as hulle nuttig om ons in die toekoms is. Aftrek en toevoeging van matrikse is baie eenvoudig. Aangesien ons neem dieselfde grootte matriks, elke element van 'n tafel is wat verband hou met elke ander element. So voeg ons (aftrek) twee van hierdie elemente (dit is belangrik dat hulle staan op dieselfde grond in hul matrikse). Wanneer vermenigvuldig met die aantal matriks of vektor jy eenvoudig vermenigvuldig elke element van die matriks deur dat die getal (of vektor). Transposisie - 'n baie interessante proses. Baie interessante soms om hom te sien in die werklike lewe, byvoorbeeld, wanneer die verandering van die geaardheid van 'n tablet of selfoon. Die ikone op die lessenaar is 'n matriks, en met 'n verandering van posisie, is dit getransponeer en word groter, maar daal in hoogte.

Kom ons kyk na meer 'n proses soos matriksvermenigvuldiging. Hoewel hy het ons vertel, en is nie bruikbaar nie, maar wees bewus dit is nog steeds nuttig. Vermenigvuldig twee matrikse kan slegs onder die voorwaarde dat die aantal kolomme in een tafel is gelyk aan die aantal ander rye. Neem nou een matriks lyn elemente en ander elemente van die ooreenstemmende kolom. Vermeerder hulle aan mekaar en dan som (: 'n * b _{11 12} + ₁₂ * b en ₂₂ dit wil sê, byvoorbeeld, 'n produk van elemente ₁₁ en ₁₂ en by ₁₂ b en ₂₂ b gelyk te _wees). So, is 'n enkele tafel item, en 'n metode soortgelyk aan dit verder gevul.

Nou kan ons begin om te oorweeg hoe om stelsels lineêre vergelykings op te los.

Gauss

Hierdie tema het om plaas te vind by die skool. Ons weet baie goed die konsep van "n stelsel van twee lineêre vergelykings" en weet hoe om dit op te los. Maar wat as die aantal vergelykings is groter as twee? Dit sal ons help Gauss metode.

Natuurlik, hierdie metode is gerieflik om te gebruik, as jy 'n oorsig van die stelsel te maak. Maar jy kan dit nie omskep en besluit op sy eie.

So, hoe om dit op te los deur 'n stelsel van lineêre vergelykings Gauss? By the way, selfs al is hierdie metode en na hom vernoem, maar ontdek dit in antieke tye. Gauss het 'n operasie uit met die vergelykings gedoen, om uiteindelik lei tot die totaliteit te trapvorm. Dit wil sê, wat jy nodig het om top-down (indien dit korrek te plaas) vanaf die eerste tot die laaste vergelyking getaan een onbekend. Met ander woorde, ons moet seker maak dat ons het, sê, drie vergelykings: die eerste - drie onbekendes, in die tweede - twee in die derde - een. Dan, uit die laaste vergelyking, vind ons die eerste onbekende, vervang die waarde daarvan in die tweede of die eerste vergelyking, en die oorblywende twee veranderlikes verder vind.

Cramer se reël

Vir die ontwikkeling van hierdie tegniek is noodsaaklik om die vaardighede van optelling te bemeester, aftrek van matrikse, asook die behoefte om in staat wees om determinante vind. Daarom, as jy ongemaklik doen dit alles is of nie weet hoe, is dit nodig om te leer en opgelei word.

Wat is die kern van hierdie metode, en hoe om dit te doen, om 'n stelsel lineêre vergelykings Cramer kry? Dit is baie eenvoudig. Ons moet 'n oorsig van getalle te bou (byna altyd) die koëffisiënte van 'n stelsel van lineêre algebraïese vergelykings. Om dit te doen, net neem die getal van die onbekende, en ons reël 'n tafel in die volgorde wat hulle aangeteken in die stelsel. Indien daar voor die nommer is 'n teken "-", dan skryf ons negatiewe koëffisiënt. So, ons het die eerste matriks van die koëffisiënte van die onbekendes, wat nie die aantal na die gelyk teken (natuurlik, dat die vergelyking moet verminder word tot die kanonieke vorm wanneer die reg is net 'n nommer, en die linker - al die onbekendes met koëffisiënte). Dan moet jy 'n paar matrikse maak - een vir elke veranderlike. Vir hierdie doel, in die eerste matriks word vervang deur een kolom elke kolom getalle met die koëffisiënte na die gelyk teken. So kry ons 'n paar matrikse en vind dan hul determinante.

Nadat ons die kwalifiseerders gevind, dit is klein. Ons het 'n aanvanklike oorsig, en daar is 'n hele paar afgelei matrikse, wat ooreenstem met verskillende veranderlikes. Om 'n stelsel oplossing te kry, deel ons die determinant van die gevolglike tafel op die primêre bepaler van die tafel. Die gevolglike aantal is die waarde van 'n veranderlike. Net so vind ons al die onbekendes.

ander metodes

Daar is verskeie metodes om die oplossing van stelsels lineêre vergelykings te verkry. Byvoorbeeld, 'n sogenaamde Gauss-Jordan metode wat gebruik word vir die vind van oplossings van die stelsel van kwadratiese vergelykings, en ook betrekking het op die gebruik van matrikse. Daar is ook 'n Jacobi metode vir die oplossing van 'n stelsel van lineêre algebraïese vergelykings. Hy maklik aanpas by alle rekenaars en word gebruik in die berekening van.

ingewikkelde gevalle

Kompleksiteit kom gewoonlik as die aantal vergelykings minder as die aantal veranderlikes is. Dan kan ons seker sê dat, of die stelsel is strydig (dit wil sê, het geen wortels), of die getal van sy besluite streef na oneindig. As ons die tweede geval - is dit nodig om die algemene oplossing van die stelsel van lineêre vergelykings te skryf. Dit sal ten minste een veranderlike insluit.

gevolgtrekking

Hier kom ons by die einde. Om op te som: ons het om te verstaan wat die stelsel matriks, geleer om die algemene oplossing van 'n stelsel van lineêre vergelykings te vind. Daarbenewens beskou ons ander opsies. Ons uitgepluis het hoe om stelsels lineêre vergelykings op te los: Gauss eliminasie en Cramer se reël. Ons het gepraat oor moeilike sake en ander maniere van die vind van oplossings.

Trouens, hierdie kwessie is baie meer uitgebreide, en as jy wil 'n beter verstaan dit, raai ons jou aan meer van die gespesialiseerde literatuur lees.