Die wortels van 'n kwadratiese vergelyking: algebraïese en meetkundige betekenis

In algebra vierkante word 'n tweede orde vergelyking. Deur vergelyking impliseer 'n wiskundige uitdrukking, wat in sy samestelling van een of meer onbekende het. Tweede-orde vergelyking - 'n wiskundige vergelyking met ten minste een onbekende in vierkante grade. Die kwadratiese vergelyking - tweede-orde vergelyking getoon identiteit te gelyk aan nul beteken. Los die vergelyking vierkante is dieselfde wat die vierkantswortels van die vergelyking bepaal. Tipiese kwadratiese vergelyking in die algemene vorm:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

waarin W, T - die koëffisiënte van die wortels van die kwadratiese vergelyking;

O - gratis koëffisiënt;

c - wortel van die kwadratiese vergelyking (het altyd twee waardes C1 en C2).

Soos reeds genoem, die probleem van die oplossing van 'n kwadratiese vergelyking - die vind van die wortels van 'n kwadratiese vergelyking. Om hulle te vind, moet jy 'n diskriminant vind:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Die diskriminant formules wat nodig is vir die vind van oplossings wortel C1 en C2:

c1 = (-T + √N) / 2 * W en c2 = (-T - √N) / 2 * W

As die kwadratiese vergelyking van die algemene vorm faktor by die wortel van T het 'n veelvuldige waarde, is die vergelyking vervang deur:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

En sy wortels lyk soos die uitdrukking:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W en c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Dikwels vergelyking kan 'n effens ander voorkoms te hê wanneer C_2 geen koëffisiënt W. In hierdie geval het die bostaande vergelyking het die vorm:

c ^ 2 + F * c + L = 0

waar F - faktor by die wortel;

L - gratis faktor;

c - wortel van die vierkant (het altyd twee waardes C1 en C2).

Hierdie tipe van vergelyking is bekend as 'n kwadratiese vergelyking gegee. Die naam "verminder" het van formule bediening tipiese kwadratiese vergelyking, as die koëffisiënt van W wortel het 'n waarde van een. In hierdie geval, die wortels van die kwadratiese vergelyking:

c1 = f / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] en c2 = f / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

In die geval van selfs waardes van die koëffisiënt van die F wortel wortels sal 'n oplossing het:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F - √ (F ^ 2-L)

As ons praat oor kwadratiese vergelykings, is dit nodig om die onthou stelling van Vieta. Dit bepaal dat die volgende wette vir die verminderde kwadratiese vergelyking:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F en c1 * C2 = L

In die algemeen kwadratiese vergelyking kwadratiese vergelyking wortels verwante afhanklikhede:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W en c1 * C2 = O / W

Nou oorweeg die opsies van kwadratiese vergelykings en hul oplossings. Almal van hulle kan wees twee, asof 'n lid van c_2 ontbreek, dan is die vergelyking nie vierkante wees. dus:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 van die kwadratiese vergelyking verpersoonliking sonder vrye faktor (lid).

Die oplossing is:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 van die kwadratiese vergelyking verpersoonliking sonder die tweede kwartaal, wanneer dieselfde modulo die wortels van die kwadratiese vergelyking.

Die oplossing is:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Dit alles was algebra. Oorweeg die geometriese betekenis van wat 'n kwadratiese vergelyking. die tweede orde vergelyking in die meetkunde word beskryf deur 'n parabool funksie. dikwels die taak is om die wortels van 'n kwadratiese vergelyking vir hoërskoolleerlinge vind? Hierdie wortels gee die konsep van hoe om die grafiek funksie (parabool) met die koördineer as sny - die horisontale. Indien die kwadratiese vergelyking het besluit, die irrasionele besluit van die wortels kry ons, dan die kruising sal nie. As die wortel het een fisiese waarde, die funksie kruisies die x-as in een plek. As die twee wortels, dan, onderskeidelik, - twee snypunte.

Dit is opmerklik dat onder die irrasionele wortels impliseer 'n negatiewe waarde onder die wortel, die wortel bevinding. Fisiese waarde - enige positiewe of negatiewe waarde. In die geval van die vind net een wortel beteken dat die wortels van dieselfde. Die geaardheid van die kurwe in 'n Cartesiese koördinaatstelsel kan ook vooraf bepaal deur die koëffisiënte van die W wortels en T. As W het 'n positiewe waarde, is die twee takke van die parabool opwaarts gerig. As W het 'n negatiewe waarde, - afwaarts. Ook, as die koëffisiënt B het 'n positiewe teken, waarin W is ook positief, die toppunt van die parabool funksie is binne die "y" van "-" tot oneindig "+" oneindigheid, "c" in die reeks van minus oneindigheid tot nul. As T - positiewe waarde, en W - negatief is, aan die ander kant van die abscissa.