Verskille - wat is dit? Hoe om die ewenaar van die funksie te vind?

Saam met afgeleide instrumente hul funksies verskille - dit sommige van die basiese konsepte van die differensiaalrekening, die belangrikste deel van wiskundige analise. As onlosmaaklik verbind, beide van hulle 'n paar eeue wyd gebruik in die oplossing van byna al die probleme wat ontstaan het in die loop van die wetenskaplike en tegniese aktiwiteit.

Die opkoms van die konsep van differensiële

Vir die eerste keer het dit duidelik gemaak dat so 'n verskil, een van die stigters (saam met Isaakom Nyutonom) differensiaalrekening beroemde Duitse wiskundige Gotfrid Vilgelm Leybnits. Voor dat wiskundiges 17de eeu. gebruik baie onduidelik en vaag idee van 'n paar infinitesimale "onverdeelde" van enige bekende funksie, wat 'n baie klein konstante waarde, maar nie gelyk aan nul, onder watter waardes die funksie kan nie eenvoudig wees. Vandaar was dit net 'n stap om die bekendstelling van begrippe van infinitesimale inkremente van funksie argumente en hul onderskeie stappe van die funksies wat uitgedruk kan word in terme van afgeleides van die laasgenoemde. En hierdie stap is die bogenoemde twee groot wetenskaplikes geneem byna gelyktydig.

Gebaseer op die behoefte aan dringende praktiese meganika probleme wat die wetenskap te konfronteer spreek vinnig ontwikkelende bedryf en tegnologie, Newton en Leibniz het die algemene maniere van die vind van die funksies van die tempo van verandering (veral met betrekking tot die meganiese spoed van die liggaam van die bekende trajek), wat gelei het tot die bekendstelling van sodanige konsepte, as die afgeleide funksie en die ewenaar, en het ook bevind die algoritme omgekeerde probleem oplossings as bekend as sulks (veranderlike) snelheden deurkruis om die pad wat gelei het tot die konsep van integrale vind Ala.

In die werke van Leibniz en Newton se idee eerste het dit geblyk dat die verskille - is eweredig aan die inkrement van die basiese argumente DH vermeerderings Δu funksies wat suksesvol aangewend kan word om die waarde van die laasgenoemde te bereken. Met ander woorde, het hulle ontdek dat 'n verhoging funksie kan wees op enige punt (binne sy gebied van definisie) word uitgedruk deur middel van sy afgeleide beide Δu = y (x) DH + αΔh waar α DH - res, neig na nul as DH → 0, baie vinniger as die werklike DH.

Volgens die stigters van wiskundige analise, die verskille - dit is presies die eerste kwartaal in inkremente van enige funksies. Selfs sonder 'n duidelik gedefinieerde limiet konsep rye is intuïtief verstaan wat die verskil waarde van die afgeleide is geneig om te funksioneer as DH → 0 - Δu / DH → y (x).

In teenstelling met Newton, wat in die eerste plek 'n fisikus en wiskundige apparaat beskou as 'n hulp instrument vir die studie van fisiese probleme was, Leibniz betaal meer aandag aan hierdie hulpmiddel, insluitend 'n stelsel van visuele en verstaanbaar simbole wiskundige waardes. Dit was hy wat die standaard notasie van verskille funksie dy voorgestelde = y (x) dx, dx, en die afgeleide van die argument funksie as hul verhouding y (x) = dy / dx.

Die moderne definisie

Wat is die verskil in terme van moderne wiskunde? Dit is nou verwant aan die konsep van 'n veranderlike inkrement. As die veranderlike y neem 'n eerste waarde van y y = _1, dan = y y _2, is die verskil y ₂ ─ y ₁ die inkrement waarde y genoem. Die verhoging kan positief wees. negatiewe en 'n nul. Die woord "inkrement" aangewys Δ, Δu opname (lees "delta y ') dui op die waarde van die inkrement y. so Δu = y ₂ ─ y _1.

As die waarde Δu arbitrêre funksie y = f (x) kan voorgestel word as Δu = A DH + α, waar A is geen afhanklikheid van DH, t. E. A = konst vir die gegewe x, en die term α wanneer DH → 0 geneig om dit is selfs vinniger as die werklike DH, dan is die eerste ( "meester") 'n term proporsionele DH, en is vir y = f (x) ewenaar, aangedui dy of DF (x) (lees "y de", "de eff van X"). Daarom verskille - 'n "hoof" lineêre met betrekking tot die komponente van inkremente DH funksies.

meganiese verduideliking

Laat s = f (t) - die afstand in 'n reguit lyn beweeg materiaal punt van die aanvanklike posisie (t - reistyd). Inkrement Δs - is die pad punt tydens 'n tyd interval Δt, en die ewenaar ds = f '(t) Δt - hierdie pad, wat punt sal gehou word vir dieselfde tyd Δt, as dit die spoed f behou' (t), bereik op tydstip t . Wanneer 'n infinitesimale Δt ds denkbeeldige pad verskil van die werklike Δs infinitesimale 'n hoër orde met betrekking tot Δt. As die spoed op daardie tydstip t is nie gelyk aan nul, die benaderde waarde ds gee klein vooroordeel punt.

meetkundige betekenis

Laat die lyn L is die grafiek van y = f (x). Dan Δ x = MQ, Δu = QM (sien. Figuur hieronder). Raaklyn MN breek Δu sny in twee dele, QN en NM. Eerste en DH is eweredig QN = MQ ∙ TG (hoek QMN) = DH f '(x), t. E QN is dy ewenaar.

Die tweede deel van die verskil Δu NM'daet ─ dy, wanneer DH → 0 NM lengte 'afneem selfs vinniger as die verhoging van die argument, dit wil sê dit het die einde van kleinheid hoër as DH. In hierdie geval, as f '(x) ≠ 0 (nie-parallelle raaklyn OX) segmente QM'i QN ekwivalent; met ander woorde NM 'afneem vinnig (einde van kleinheid van sy hoër) as die totale verhoging Δu = QM. Dit is duidelik in Figuur (nader segment M'k M NM'sostavlyaet al kleiner persentasie QM 'segment).

So, grafies differensiële arbitrêre funksie gelyk is aan die verhoging van die ordinaat van die raaklyn.

Afgeleide en differensiële

'N faktor in die eerste kwartaal van uitdrukking inkrement funksie gelyk is aan die waarde van die afgeleide f' (x). So, die volgende verhouding - dy = f '(x) DH of DF (x) = f' (x) DH.

Dit is bekend dat die verhoging van die onafhanklike argument is gelykstaande aan sy ewenaar DH = dx. Gevolglik kan ons skryf: f '(x) dx = dy.

Vind (soms sê vir die "besluit" wees) verskille is wat uitgevoer word deur dieselfde reëls as vir die afgeleides. 'N Lys van hulle word hieronder gegee.

Wat is meer universeel: die verhoging van die argument of sy ewenaar

Hier is dit nodig om 'n paar verduideliking maak. Verteenwoordiging waarde f '(x) ewenaar DH moontlik by die oorweging van x as 'n argument. Maar die funksie kan 'n komplekse, waarin x 'n funksie van die argument t kan wees. Toe die verteenwoordiging van die ewenaar uitdrukking van f '(x) DH, as 'n reël, is dit onmoontlik; behalwe in die geval van lineêre afhanklikheid x = by + b.

As om die formule f '(x) dx = dy, dan in die geval van 'n onafhanklike argument x (dan dx = DH) in die geval van die parametriese afhanklikheid van x t, dit is ewenaar.

Byvoorbeeld, die uitdrukking 2 x DH is vir y = x ² sy ewenaar wanneer x is 'n argument. Ons het nou x = t ² en aanvaar t argument. Dan y = x ² = t ^4.

Dit word gevolg deur (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Vandaar DH = 2tΔt + Δt ^2. Vandaar: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Hierdie uitdrukking is nie eweredig aan Δt, en daarom is nou 2xΔh is nie ewenaar. Dit kan gevind word uit die vergelyking y = x ² = t ^4. Dit is gelyk dy = 4t ³ Δt.

As ons die uitdrukking 2xdx, dit is die differensiële y = x ² vir enige argument t. Inderdaad, wanneer x = t ² kry dx = 2tΔt.

So 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Die uitdrukking verskille aangeteken deur twee verskillende veranderlikes saamval.

Vervang inkremente ewenaars

As f '(x) ≠ 0, dan Δu en dy ekwivalent (wanneer DH → 0); As f '(x) = 0 (betekenis en dy = 0), hulle is nie ekwivalent.

Byvoorbeeld, as y = x ^2, dan Δu = (x + DH) ² ─ x ² = 2xΔh + DH ² en dy = 2xΔh. As x = 3, dan het ons Δu = 6Δh + DH ² en dy = 6Δh wat gelykstaande weens DH ² → 0 is, wanneer x = 0 waarde Δu = DH ² en dy = 0 is nie ekwivalent.

Hierdie feit, tesame met die eenvoudige struktuur van die ewenaar (m. E. lineariteit met betrekking tot DH), word dikwels gebruik in benaderde berekening, op die aanname dat Δu ≈ dy vir klein DH. Vind die verskil funksie is gewoonlik makliker as om die presiese waarde van die inkrement te bereken.

Byvoorbeeld, ons het metaal kubus met rand x = 10,00 cm. Op die verhitting van die rand verleng op DH = 0,001 cm. Hoe groter volume kubus V? Ons het V = x ^2, sodat dV = 3x ² = DH 3 ∙ ∙ ¹⁰ Februarie 0/01 = 3 (cm ^3). Verhoogde ΔV ekwivalent ewenaar dV, sodat ΔV = 3 cm ^3. Volle berekening sou gee ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ Maart = 3,003001. Maar die gevolg van al syfers behalwe die eerste onbetroubaar; Daarom, is dit steeds nodig om tred te rond tot 3 cm ^3.

Dit is duidelik dat hierdie benadering is nuttig slegs indien dit moontlik is om die waarde oorgedra met fout skat.

Differensiële funksie: voorbeelde

Kom ons probeer om die ewenaar van die funksie y = x ^{3 vind,} vind die afgeleide. Kom ons gee die argument inkrement Δu en definieer.

Δu = (DH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + DH (DH 3xΔh ² + ^3).

Hier kom die koëffisiënt A = 3x ² nie afhanklik van DH, sodat die eerste kwartaal is eweredig DH, die ander lid 3xΔh DH ² + ³ wanneer DH → 0 afneem vinniger as die verhoging van die argument. Gevolglik is 'n lid van 3x ² DH is die verskil van y = x ^3:

dy = 3x ² DH = 3x ² dx of d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Waarin d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Ons vind nou die funksie y = 1 / x deur die afgeleide. Dan d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Daarom dy = ─ DH / x ^2.

Ewenaars basiese algebraïese funksies word hieronder gegee.

Geskatte berekeninge met behulp van differensiële

Om die funksie f (x) te evalueer, en sy afgeleide f '(x) by x = a is dikwels moeilik, maar om dieselfde in die omgewing van x = a doen is nie maklik nie. kom dan na die hulp van die geskatte uitdrukking

f (a + DH) ≈ f '(a) DH + f (a).

Dit gee 'n benaderde waarde van die funksie by klein inkremente deur sy ewenaar DH f '(a) DH.

Daarom, hierdie formule gee 'n benaderde uitdrukking vir die funksie by die eindpunt van 'n gedeelte van 'n lengte DH as 'n som van sy waarde by die beginpunt van die gedeelte (x = a) en die ewenaar in dieselfde beginpunt. Akkuraatheid van die metode vir die bepaling van die waardes van die funksie hieronder illustreer die tekening.

Maar bekend en die presiese uitdrukking vir die waarde van die funksie x = a + DH gegee deur formule eindig inkremente (of, alternatiewelik, Lagrange se formule)

f (a + DH) ≈ f '(ξ) DH + f (a),

waar die punt x = a + ξ is in die interval van x = a x = a + DH, hoewel die presiese posisie is onbekend. Die presiese formule toelaat om die fout van die geskatte formule te evalueer. As ons in die Lagrange formule ξ = DH / 2, hoewel dit nie meer akkuraat te wees, maar gee, as 'n reël, 'n baie beter benadering as die oorspronklike uitdrukking in terme van die ewenaar.

Evaluering formules fout deur die toepassing van differensiële

Meetinstrumente , in beginsel, onakkurate, en bring aan die meting data wat ooreenstem met die fout. Hulle word gekenmerk deur 'n beperking van die absolute fout, of, in kort, die limiet fout - positief, duidelik meer as die fout in absolute waarde (of hoogstens gelyk aan dit). Die beperking van die relatiewe fout is bekend as die verkry deur dit deur die absolute waarde van die gemeet waarde kwosiënt.

Laat presiese formule y = f (x) funksie gebruik om vychislyaeniya y, maar die waarde van x is die meting hiervan, en dus bring die y fout. Dan, om die beperking van absolute fout │Δu│funktsii y vind, met behulp van die formule

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

waar │Δh│yavlyaetsya marginale fout argument. │Δu│ hoeveelheid moet opwaarts afgerond word, as onakkurate berekening self is die vervanging van die inkrement op die ewenaar berekening.