Differensiaalrekening van funksies van een en 'n paar veranderlikes

Differensiaalrekening is 'n tak van wiskundige analise, wat die afgeleide, ewenaars en die gebruik daarvan in die studie van funksies ondersoek.

Die verhaal van

Differensiaalrekening na vore gekom as 'n onafhanklike dissipline in die tweede helfte van die 17de eeu, te danke aan die werk van Newton en Leibniz, wat die basiese bepalings in die berekening van verskille geformuleer en opgemerk die verband tussen integrasie en differensiasie. Sedert dissipline ontwikkel hy saam met die berekening van integrale, en daardeur die basis van die wiskundige analise uitmaak. Die voorkoms van hierdie calculi geopen en 'n nuwe moderne tydperk in die wiskundige wêreld en het veroorsaak dat die opkoms van nuwe dissiplines in die wetenskap. Ook uitgebrei die moontlikheid van die toepassing van wiskunde in die natuurwetenskappe en ingenieurswese.

basiese konsepte

Differensiaalrekening is gebaseer op die fundamentele konsepte van wiskunde. Hulle is: 'n reële getal, kontinuïteit en perk van funksie. Na 'n tyd het hulle 'n moderne voorkoms geneem, te danke aan die integrale en differensiaalrekening.

Die proses van die skep van

Vorming van die differensiaalrekening in die vorm van 'n aansoek, en dan die wetenskaplike metode plaasgevind het voor die opkoms van filosofiese teorie wat geskep is deur Nikolay Kuzansky. Sy werk word beskou as 'n evolusionêre ontwikkeling van die antieke wetenskap van oordeel wees. Ten spyte van die feit dat die filosoof was self nie 'n wiskundige, sy bydrae tot die ontwikkeling van wiskundige wetenskap is onmiskenbaar. Cusa, een van die eerste uit die oorweging van rekenkundige as die mees akkurate wetenskap, wiskunde om die tyd in die gedrang bring.

In antieke wiskundiges was universele maatstaf 'n eenheid, terwyl die as 'n nuwe maatstaf oneindig voorgestelde filosoof terugkeer die presiese aantal. In verband met hierdie omgekeerde voorstelling van akkuraatheid in wiskundige wetenskap. Wetenskaplike kennis, in sy mening, is verdeel in rasionele en intelligente. Die tweede is meer akkuraat, volgens die wetenskaplike, aangesien die voormalige gee net benaderde resultate.

idee

Die basiese idee en die konsep van differensiaalrekening wat verband hou met die funksie in 'n klein woonbuurt van sekere punte. Want dit is dit nodig om 'n wiskundige apparaat om studies wie se gedrag in 'n klein woonbuurt van punte naby geïnstalleer om die gedrag van 'n lineêre funksie of 'n polinoomfunksie te skep. Op grond van hierdie definisie van afgeleide en ewenaar.

Die opkoms van die konsep van die afgeleide is veroorsaak deur 'n groot aantal probleme van natuurwetenskappe en wiskunde, wat gelei het tot die bepaling van limiet waardes van dieselfde soort.

Een van die belangrikste take wat gegee word as 'n voorbeeld, wat begin met die oudste skool klasse, is om die spoed van die beweging van 'n punt te bepaal in 'n reguit lyn en die konstruksie van die raaklyn aan hierdie kromme. Die ewenaar in verband met hierdie, want dit is moontlik om die funksie te benader in 'n klein woonbuurt van die punt van 'n lineêre funksie.

In vergelyking met die konsep van afgeleide van 'n funksie van 'n werklike veranderlike, die definisie van ewenaars gaan eenvoudig oor die funksie van algemene aard, in die besonder die beeld van 'n Euklidiese ruimte na 'n ander.

afgeleide

Laat die punt beweeg in die rigting van die y-as, vir die tyd neem ons x, wat is gemeet vanaf die begin van 'n oomblik. Beskryf so 'n beweging is moontlik gemaak deur die funksie y = f (x), wat geassosieer word met elke keer punt x koördineer-permanente punt. Hierdie funksie oproep in meganika om bewegingswet neem. Die belangrikste kenmerk van die beweging, veral ongelyke, is die oombliklike snelheid. Wanneer die punt is verskuif langs die y-as volgens die wet van meganika, die ewekansige tyd punt dit verkry koördineer x f (x). In die tyd punt x + DH, waar DH verteenwoordig die inkrement van tyd, sal dit f (x + DH) kordinaty. So gevorm formule Δy = f (x + DH) - f (x), wat 'n toename van funksie genoem. Dit is 'n punt van die pad gekruis tydens die tyd van x x + DH.

In verband met die voorkoms van die snelheid by tyd afgeleide geadministreer. Die afgeleide van enige funksie by 'n vaste punt genoem die limiet (die veronderstelling dat dit bestaan). Dit kan verwys word na sekere karakters:

f '(x), y, y, DF / dx, dy / dx, Df (x).

Die proses van die berekening van die afgeleide van die oproep differensiasie.

Differensiaalrekening van funksies van meer veranderlikes

Hierdie metode word toegepas by die berekening funksie studie, 'n paar veranderlikes. Wanneer daar twee veranderlikes x en y, die parsiële afgeleide met betrekking tot x op die punt A genoem word die afgeleide van die funksie in x met 'n vaste y.

Mag aangedui word deur die volgende simbole:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x en ∂f (x, y) '/ ∂x.

nodige vaardighede

Ten einde suksesvol te leer en in staat wees om diffury nodige vaardighede op te los in die integrasie en differensiasie. Maak dit makliker om die differensiaalvergelykings te verstaan, moet onderwerp afgeleide en verstaan onbepaalde integraal. Ook maak nie seer om te leer om te kyk vir die afgeleide van die implisiete funksie. Dit is te wyte aan die feit dat in die proses van leer sal dikwels gebruik integrale en differensiasie.

Tipes differensiaalvergelykings

Feitlik al die beheer werk wat verband hou met die eerste-orde differensiaalvergelykings, is daar 3 tipes vergelykings: homogene, met skeibare veranderlikes, lineêre inhomogeneous.

Daar is ook meer skaars spesies vergelykings met 'n totale verskil in, Bernoulli se vergelyking, en ander.

grondbeginsels oplossings

Om mee te begin, ons moet onthou is algebraïese vergelyking van 'n skool natuurlik. Dit bevat die veranderlikes en getalle. Met die oog op die konvensionele vergelyking moet baie nommers wat 'n spesifieke toestand tevrede te vind op te los. Tipies, hierdie vergelykings het een wortel, en vir bekragtiging moet net vervang hierdie waarde in plek onbekend.

Die differensiaalvergelyking is soortgelyk aan dié. In die algemeen, 'n vergelyking van die eerste orde bestaan uit:

• Onafhanklike veranderlike.
• 'N afgeleide van die eerste funksie.
• Funksie of afhanklike veranderlike.

In sommige gevalle kan daar niemand onbekend, x of y wees, maar dit is nie so belangrik soos dit nodig is om die eerste afgeleide het, met geen hoër-orde afgeleides van die oplossing en die differensiaalrekening, was waar.

Los die differensiaalvergelyking - dit beteken om die versameling van alle funksies wat geskik is gegee uitdrukking vind. Sulke stelle van funksies word dikwels die algemene oplossing beheer.

integraalrekening

Integraalrekening is een van die afdelings van wiskundige analise, wat die konsep van integrale, eienskappe en metodes van die berekening ondersoek.

Dikwels die berekening van die integrale vind plaas wanneer die berekening van die oppervlakte van 'n kromlynige vorm. Deur dit beteken 'n beperking gebied, teenoor wat 'n voorafbepaalde gebied van die ingeskrewe veelhoek vorm met 'n geleidelike toename in sy hand, en die data kant minder as enige voorheen vermeld arbitrêre klein waarde kan wees.

Die hoofgedagte in die berekening van die oppervlakte van enige geometriese vorm is die berekening van die oppervlakte van 'n reghoek, dan is daar bewyse dat sy gebied is gelyk aan die produk van die lengte van die breedte. Wanneer dit kom by die meetkunde, dan sal al die konstruksies is gemaak met behulp van 'n liniaal en kompas, en dan die verhouding van die lengte tot breedte is 'n rasionele waarde. By die berekening van die oppervlakte van 'n reghoekige driehoek kan bepaal dat as jy 'n volgende driehoek sit, is 'n reghoek gevorm. In die gebied van die parallelogram bereken in 'n soortgelyke, maar effens meer ingewikkeld metode, binne 'n reghoek en 'n driehoek. In die gebied van 'n veelhoek beskou deur driehoeke ingesluit in dit.

In die bepaling van die genade van arbitrêre, het hierdie metode nie pas by die kurwe. As ons breek dit in individuele blokkies, sal dit onvoltooide plekke bly. In hierdie geval, probeer om twee kledingstukke gebruik, met reghoeke bo en onder, as gevolg van die sluit van die grafiek van die funksie en sluit nie. Belangrik hier is 'n manier om hierdie reghoeke te breek. Ook, as ons die breek al hoe meer verminder neem, die gebied van die boonste en onderste moet bymekaar op 'n sekere waarde.

Dit moet terugkeer na 'n metode vir die skeiding van in reghoeke. Daar is twee gewilde metodes.

Riemann is geformaliseer definisie van die integrale, geskep deur Leibniz en Newton, soos die gebied van subgraph. In hierdie geval, beskou ons 'n figuur wat bestaan uit 'n sekere aantal van die vertikale reghoeke verkry deur die interval te deel. Wanneer breek 'n afname is daar 'n beperking op wat die verminderde gebied van so 'n figuur word hierdie limiet die Riemann-integraal van 'n funksie op 'n bepaalde interval genoem.

'N Tweede metode is om te bou die Lebesgue integraal, wat bestaan in die feit dat in die plek van skeiding aangewese gebied op 'n deel van die integrand en die opstel van dan die integrale som van die waardes wat in hierdie streke nie met tussenposes verdeel sy reeks van waardes, en dan opgesom met die ooreenstemmende maatreëls omgekeerde beelde van hierdie integrale.

moderne hulpmiddels

Een van die belangrikste voordele vir die studie van differensiaal- en integraalrekening Fikhtengol'ts geskryf - "van die differensiaal- en integraalrekening." Sy handboek is 'n fundamentele hulpmiddel vir die bestudering van wiskundige analise, wat baie uitgawes en vertalings teëgestaan in ander tale. Geskep vir studente en vir 'n lang tyd gebruik in 'n verskeidenheid van opvoedkundige instellings as een van die belangrikste voordele van die studie. Dit gee teoretiese inligting en praktiese vaardighede. Die eerste keer gepubliseer in 1948.

Algoritme navorsing funksie

Om die metodes van differensiaalrekening funksie te verken, moet jy volg is reeds gegewe algoritme:

1. Vind die definisieversameling van die funksie.
2. Vind die wortels van die gegewe vergelyking.
3. Bereken die uiterstes. Om dit te doen, bereken ons die afgeleide en die punt waar dit gelyk aan nul is.
4. Ons vervang die verkry in vergelyking waarde.

Variëteite van differensiaalvergelykings

Beheer van die eerste orde (anders, differensiaalrekening van een veranderlike) en hul tipes:

• Met skeibare veranderlikes vergelyking: f (y) dy = g (x) dx.
• Die eenvoudigste vergelyking of differensiaalrekening funksie van een veranderlike, met die formule: y '= f (x).
• Die lineêre eerste orde nonuniform beheer: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli differensiaalvergelyking: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Vergelyking totale ewenaars met: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Die differensiaalvergelykings van die tweede orde en hul tipes:

• Homogene lineêre tweede orde differensiaalvergelyking met konstante ^{koëffisiënte: y N + py '+ QY} = 0 p, q behoort R.
• Inhomogeneous lineêre tweede orde differensiaalvergelyking met konstante koëffisiënte ^{waarde: y N + py '+ QY} = f (x).
• Homogene lineêre ^{differensiaalvergelyking: y N + p (x)} y '+ q (x) y = 0, en inhomogeneous tweede orde ^{vergelyking: y N + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differensiaalvergelykings van hoër ordes en hul tipes:

• Die differensiaalvergelyking, sodat vermindering van die ^{orde: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (N)} = 0.
• 'N Lineêre vergelyking van hoër orde ^{_{homogene: y (N) + f (}} n- ₁₎ y ^(N-1) + ... + f ₁ y' + f ₀ y = 0, en ^{_{inhomogeneous: y (N) + f (}} N _-1) y ^(N-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Stadiums van die oplossing van die probleem met die differensiaalvergelyking

Met die hulp van remote control opgelos nie net wiskunde of fisiese probleme, maar ook die verskeie probleme van biologie, ekonomie, sosiologie en ander. Ten spyte van die wye verskeidenheid van onderwerpe, moet 'n enkele logiese volgorde te volg vir die oplossing van hierdie probleme:

1. Die opstel van beheer. Een van die moeilikste stadiums, wat maksimum akkuraatheid vereis, omdat enige fout sal lei tot heeltemal verkeerd resultate. Dit is nodig om in ag neem al die faktore wat die proses en bepaal die aanvanklike voorwaardes. Dit moet ook op grond van feite en logiese gevolgtrekkings.
2. Vir die oplossing van vergelykings. Hierdie proses is makliker om die eerste punt, aangesien dit net streng implementering van wiskundige berekeninge vereis.
3. Analise en evaluering van die resultate. Afgelei oplossing moet beoordeel word vir die installering van praktiese en teoretiese waarde van die resultaat.

'N Voorbeeld van die gebruik van differensiaalvergelykings in medisyne

Met behulp van die remote control op die gebied van medisyne is gevind in die konstruksie van epidemiologiese wiskundige model. Ons moet nie vergeet dat hierdie vergelykings ook gevind word in biologie en chemie, wat naby aan die medisyne is nie, want dit speel 'n belangrike rol die studie van verskillende biologiese bevolkings en chemiese prosesse in die menslike liggaam.

In hierdie voorbeeld, kan die epidemie verspreiding van infeksie in 'n geïsoleerde gemeenskap behandel word. Die inwoners is verdeel in drie tipes:

• Besmet is, die aantal x (t), wat bestaan uit individue, aansteeklike draers, elk van wat is aansteeklik (inkubasietydperk is kort).
• Die tweede tipe sluit vatbare individue y (t), kan besmet word deur kontak met besmette.
• Die derde tipe sluit vuurvaste individue z (t), wat immuun of verloor weens siekte is.

Aantal individue voortdurend, die behoud van geboorte, natuurlike sterftes en migrasie is nie oorweeg nie. Aan die kern sal twee hipoteses.

Persent siekte op 'n sekere tyd punt is gelyk aan x (t) y (t) (gebaseer aanname op die teorie dat die aantal gevalle in verhouding tot die aantal kruisings tussen pasiënte en reageer lede, wat in die eerste benadering is eweredig aan x (t) y (t)), in dus die aantal gevalle is aan die toeneem, en die aantal vatbaar dalings teen 'n koers wat bereken word deur die formule byl (t) y (t) (a> 0).

Aantal nie-responders diere wat gesterf het of verworwe immuniteit, teen 'n koers wat is eweredig aan die aantal gevalle, bx (t) (b> 0).

As gevolg hiervan, kan jy die opstel van 'n stelsel van vergelykings met al die drie aanwysers op die basis van sy gevolgtrekkings.

VOORBEELD gebruik ekonomie

Differensiaalrekening word dikwels gebruik in ekonomiese analise. Die belangrikste taak in die ekonomiese analise word beskou as die studie van die waardes van die ekonomie, wat beskryf word in die vorm van die funksie wees. Dit word gebruik in die oplossing van probleme soos veranderinge in inkomste belasting verhoog onmiddellik na, inskrywingsgeld, veranderinge in inkomste wanneer die verandering van die waarde van die produk, in watter verhouding kan vervang word deur afgetrede werknemers met nuwe toerusting. Om sulke probleme op te los, is dit nodig om 'n kommunikasie-funksie van die inkomende veranderlikes, wat, nadat hy bestudeer deur differensiaalrekening bou.

Dit is dikwels nodig om die mees optimale prestasie in die ekonomiese sfeer te vind: maksimum produktiwiteit, die hoogste inkomste, minste koste en so aan. Elke sodanige komponent is 'n funksie van een of meer argumente. Byvoorbeeld, kan die produksie beskou word as 'n funksie van arbeid en kapitaal. In hierdie verband, die vind van 'n geskikte waarde kan verminder word tot die vind van die maksimum of minimum van 'n funksie van een of meer veranderlikes.

Sulke probleme skep 'n klas van Ekstreme probleme in die ekonomiese veld, waarvoor jy differensiaalrekening nodig. Wanneer die ekonomiese aanwyser is nodig om te verminder of te maksimeer as 'n funksie van ander parameters, sal die verhoging verhouding maksimum punt funksie om die argumente is geneig om nul as die verhoging van die argument na nul neig. Anders, wanneer so 'n houding is geneig om 'n sekere positiewe of negatiewe waarde, die gespesifiseerde punt is nie geskik nie, want deur die argument verhoging of verlaging afhanklik waarde kan verander word in die gewenste rigting. In differensiaalrekening terminologie, sou dit beteken dat die vereiste voorwaardes vir 'n maksimum funksie is 'n nul waarde van die afgeleide.

Die ekonomie is nie ongewoon probleem van die vind van die extremum van 'n funksie van 'n paar veranderlikes, omdat ekonomiese aanwysers is saamgestel uit baie faktore. Sulke kwessies goed verstaan in die teorie van funksies van meer veranderlikes, die metode van berekening van die ewenaar. Sulke probleme sluit nie net benut word en die minimum beperk funksie, maar ook beperkings. Hierdie vrae het betrekking op wiskundige programmering, en hulle opgelos met die hulp van spesiaal ontwikkel metodes word ook op grond van hierdie vertakking van die wetenskap.

Onder die metodes van differensiaalrekening gebruik in die ekonomie, 'n belangrike deel is die uiteindelike toets. In die ekonomiese sfeer, die term verwys na 'n stel van metodes van navorsing van veranderlike prestasie en resultate wanneer jy die volume van die skepping, verbruik verander, gebaseer op 'n ontleding van hul limiet waardes. Beperking aanduiding beskou afgeleide of die parsiële afgeleides met verskeie veranderlikes.

Differensiaalrekening van verskeie veranderlikes - 'n belangrike onderwerp van wiskundige analise. Vir 'n gedetailleerde studie, kan jy 'n verskeidenheid van hulpmiddels gebruik vir hoëronderwysinstellings. Een van die mees bekende geskep Fikhtengol'ts - "van die differensiaal- en integraalrekening." Hoeveel van die naam vir die oplossing van differensiaalvergelykings van groot belang om die vaardighede om te werk met integrale hê. Wanneer daar 'n differensiaalrekening van funksies van een veranderlike, die besluit makliker. Alhoewel, dit moet in ag geneem word, is dit volg dieselfde basiese reëls. In die praktyk, om die funksie van die differensiaalrekening ondersoek, volg net die reeds bestaande algoritme, wat gegee word in die hoërskool, en net 'n bietjie ingewikkeld met die bekendstelling van nuwe veranderlikes.