Afgeleides getalle: berekening metodes en voorbeelde

Miskien die konsep van afgeleide is bekend aan almal van ons sedert hoërskool. Gewoonlik studente sukkel verstaan dit is ongetwyfeld 'n baie belangrike ding. Dit is aktief gebruik word in verskeie gebiede van mense se lewens, en baie ingenieurswese is gebaseer presies op wiskundige berekeninge verkry deur die afgeleide. Maar voordat jy na 'n ontleding van wat is 'n afgeleide van getalle as hulle bereken en waar hulle sal handig te pas kom, delf 'n bietjie in die geskiedenis.

storie

Die konsep van afgeleide, wat is die basis van wiskundige analise, was oop (selfs beter om te sê "uitgevind", want dit is, as sodanig, bestaan nie in die natuur) Isaakom Nyutonom, wat ons almal weet van die ontdekking van die wet van swaartekrag. Dit was hy wat hierdie konsep in fisika eerste gebruik vir die bindende aard van die spoed en versnelling van liggame. En baie wetenskaplikes nog loof Newton vir hierdie pragtige uitvinding, want in werklikheid het hy die grondslag van differensiaal- en integraalrekening, die feitelike basis van die hele veld van wiskunde bekend as "wiskundige analise" uitgevind. Of ten tye van die Nobelprys, Newton waarskynlik sou dit 'n paar keer ontvang.

Nie sonder ander groot geeste. In bykomend tot Newton op die ontwikkeling van afgeleide en integrale gewerk so hoog aangeskrewe genieë van wiskunde as Leonhard Euler, Lagrange en Louis Gotfrid Leybnits. Dit is te danke aan hulle het ons die teorie van differensiaalrekening in die vorm waarin dit bestaan tot vandag toe. Terloops, dit is Leibniz ontdek die geometriese betekenis van die afgeleide, wat niks meer as die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie was.

Wat is 'n afgeleide van getalle? Bietjie herhaal wat plaasgevind het in die skool.

Wat is 'n afgeleide?

hierdie konsep te definieer in verskillende maniere. Die eenvoudigste verduideliking: Derivatives - dit is die tempo van verandering funksie. Verteenwoordig die grafiek van 'n funksie y van x. As dit is nie reguit, dit het 'n paar draaie in die grafiek, die tydperke van toename en afname. As jy enige infinitesimale interval van die skedule te neem, sal dit 'n reguit lyn segment wees. So, die verhouding van die grootte van 'n infinitesimale segment van die y om die grootte van die x-koördinaat en sal 'n afgeleide van die funksie by 'n gegewe punt. As ons die funksie as 'n geheel, eerder as om op 'n spesifieke punt te oorweeg, kry ons 'n funksie van die afgeleide, dit wil sê 'n sekere afhanklikheid van die X y.

Daarbenewens, afgesien van die fisiese betekenis van die afgeleide as 'n funksie van die tempo van verandering, is daar ook 'n meetkundige sin. Op dit, ons nou bespreek.

Die geometriese betekenis

Afgeleides nommers self 'n sekere getal wat nie 'n behoorlike begrip nie enige betekenis dra. Dit blyk dat die afgeleide nie net toon die groeikoers of die funksie daal, en die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie in daardie punt. Nie heeltemal duidelik definisie. Kom ons kyk na dit in detail. Gestel ons het 'n grafiek van 'n funksie (rente kurwe neem). Dit het 'n oneindige aantal punte, maar daar is gebiede waar slegs 'n enkele punt het 'n maksimum of minimum. Deur enige sodanige punt, kan jy 'n reguit lyn, wat loodreg op die grafiek van die funksie in daardie punt sou wees trek. Hierdie lyn sal 'n raaklyn genoem word. Gestel ons het dit tot die kruising met die as OX. So verkry tussen die raaklyn en die as bees en hoek sal bepaal word deur die afgeleide. Meer spesifiek, sal die raaklyn van hierdie hoek gelyk aan dit wees.

Kom ons praat 'n bietjie oor die spesifieke gevalle en afgeleide Kom ons kyk na die getalle.

spesiale gevalle

Soos ons reeds genoem het, afgeleides van getalle - 'n afgeleide waarde by 'n bepaalde punt. Hier, byvoorbeeld, neem die funksie y = x ^2. Die afgeleide van x - getalle, maar in die algemeen - 'n funksie gelyk is aan 2 * x. As ons nodig het om die afgeleide te bereken, byvoorbeeld, in die punt x ₀ = 1, kry ons y '(1) = 2 * 1 = 2. Dit is baie eenvoudig. 'N interessante geval is die afgeleide van die komplekse getal. Om in 'n gedetailleerde verduideliking van wat 'n komplekse getal gaan, sal ons nie. Dit is voldoende om te sê dat hierdie getal wat die sogenaamde denkbeeldige eenheid bevat - die aantal wie se vierkant gelyk -1. Die berekening van hierdie afgeleide is slegs moontlik onder die volgende voorwaardes:

1) Daar moet eerste orde parsiële afgeleides van die werklike en denkbeeldige dele van y en X.

2) die voorwaardes van die Cauchy-Riemann wat verband hou met gelykheid gedeeltelike in die eerste paragraaf beskryf.

Nog 'n interessante geval, hoewel dit nie so ingewikkeld as die vorige een, is 'n afgeleide van 'n negatiewe getal. In feite, kan enige negatiewe getalle voorgestel word as 'n positiewe, vermenigvuldig met -1. Wel, die afgeleide en die konstante funksie gelyk is aan 'n konstante vermenigvuldig met die afgeleide van die funksie.

Dit sal interessant wees om te leer oor die rol van afgeleides in hul daaglikse lewens te wees, en dit is nou en bespreek dit.

aansoek

Waarskynlik elkeen van ons ten minste een keer in 'n leeftyd te vang myself te dink dat wiskunde is onwaarskynlik nuttig om hom te wees. En so 'n ingewikkelde ding as die afgeleide het waarskynlik geen gebruik. Trouens, die wiskunde - fundamentele wetenskap, en al sy vrugte ontwikkel hoofsaaklik fisika, chemie, sterrekunde en selfs die ekonomie. Afgeleide was die begin van wiskundige analise, wat ons die geleentheid om gevolgtrekkings uit die grafieke van funksies te kan teken gegee, en ons geleer het om die wette van die natuur te interpreteer en draai dit tot hulle voordeel as gevolg van dit.

gevolgtrekking

Natuurlik, kan nie almal nuttig om die afgeleide in die werklike lewe te wees. Maar wiskunde ontwikkel logika wat sekerlik sal nodig hê. Nie vir niks omdat wiskunde staan bekend as die koningin van wetenskap: dit bestaan uit 'n basiese begrip van ander velde van kennis.